第一组，闭卷考试

绪论

教材

顾伯勤，流体力学，中国科学文化出版社，四~十一章。

研究对象：连续介质；continuous deformation 连续变形

力学基础

  • 流体力学
  • 固体力学
  • 热力学

其中固体力学又可分为：

  • 理论力学 –>刚体
  • 材料力学 –>线弹性体
  • 弹性力学 –>复杂弹性体

well-documented laws

  1. Three conservation laws

    1. Mass
    2. Lineal Momentum
    3. Energy

  2. State equation
    $$
    \rho=\rho(p,T)
    $$

  3. Boundary conditions

  4. 初始条件

注：边界条件与初始条件合称定解条件。

2020-9-17

流动状态 fluid flow regimes (patterns)

  1. 黏性流动 Viscous fluid flow

判据：克努曾数 Kn
$$
Kn=\frac{\lambda}{r}=\frac{气体分子平均自由程}{流道当量半径}
$$

  • 当 Kn < 0.01，为黏性流动。
  • 当 Kn > 1，为分子流动。
  1. 分子流动 Molecular fluid flow

判据：雷诺数 Re
$$
Re=\frac{\rho w d}{\mu}=\frac{惯性力}{粘性力}
$$

  • laminar flow 层流
  • turbulent flow 湍流
  • transition flow 过渡流

time independent (steady)

定常流动
$$
\frac{\partial B}{\partial t}=0
$$

incompressible

  1. 密度不变

$$
\rho=\rho_0或者\Delta\rho=0或\frac{\Delta \rho}{\rho}\leq5%
$$

  1. 马赫数 Ma 小于等于0.3

$$
Ma=\frac{w}{c}=\frac{流速}{当地声速}\leq0.3
$$

第二章 场论与正交曲线坐标

梯度 gradient

方向导数：函数某一点处沿某一方向对距离的变化率。梯度则为其最大值。

散度 divergence

判断场是否有源。

div表示场中一点处的通量对体积的变化率。
$$
div\quad\overline{w}=0\rightarrow\ \Delta\rho=0
$$

旋度 curl

判断场是否有旋。

旋度为单位面积上的环量。

2020-9-24

哈密尔顿算子

运算时先进行微分运算，再进行向量运算。
$$
梯度：grad \quad a=\nabla\phi \
散度：div \quad a=\nabla\cdot a \
旋度：rot \quad a=\nabla\times a
$$

拉普拉斯算子

物理量的梯度的散度。
$$
\nabla^2\phi=\nabla\cdot\nabla \phi
$$

调和场和调和函数

重要推论

  1. 旋度为0，$ \nabla\times a=0\leftrightarrow势流a=\nabla\phi $

  2. $ \nabla\cdot a=0\leftrightarrow a=\nabla\times b $

式中$ \phi $为矢量a的标量势，简称势，b称为矢量a的矢量势。
若同时满足以上两条件，即矢量a处处无旋同时无散，则其势$ \phi $必满足：
$$
\nabla\cdot\nabla\phi=\nabla^2\phi=0
$$
如此矢量a的场称为调和场，$ \phi $称为调和函数。

常考题

证明矢量$ a=i(2x+4yz^2)+j(3y^2-6y+4xz^2)+k8xyz $有势并求势函数。
$$
\nabla\times a=i(\frac{\partial a_z}{\partial y}-\frac{\partial a_y}{\partial z})+j(\frac{\partial a_x}{\partial z}-\frac{\partial a_z}{\partial x})+k(\frac{\partial a_y}{\partial x}-\frac{\partial a_x}{\partial y}) \
=i(\frac{\partial}{\partial y}(8xyz)-\frac{\partial}{\partial z}(3y^2-6y+4xz^2))+j(\frac{\partial}{\partial z}(2x+4yz^2)-\frac{\partial}{\partial x}(8xyz))+k(\frac{\partial}{\partial x}(3y^2-6y+4xz^2)-\frac{\partial}{\partial y}(2x+4yz^2))\
=i(8xz-8xz)+j(8yz-8yz)+k(4z^2-4z^2)=0
$$
所以矢量a有势

所以$ a=\nabla\phi=i\frac{\partial\phi}{\partial x}+j\frac{\partial\phi}{\partial y}+k\frac{\partial\phi}{\partial z} $
$$
\frac{\partial\phi}{\partial x}=a_x=2x+4yz^2\
\therefore\quad\phi=\int(2x+4yz^2)\mathrm{d}x+f_1(y,z)=x^2+4xyz^2+f_1(y,z)\
\frac{\partial\phi}{\partial y}=a_y=3y^2-6y+4xz^2=4xz^2+\frac{\partial f_1}{\partial y}\
\therefore\quad f_1(y,z)=y^3-3y^2+f_2(z)\
\phi=x^2+4xyz^2+y^3-3y^2+f_2(z)\
\frac{\partial\phi}{\partial z}=a_z=8xyz+\frac{\partial f_2}{\partial z}\
\therefore\quad f_2(z)=C
$$
代入则可求得势函数为
$$
\phi=y^3+4xyz^2+x^2-3y^2+C
$$
2020-9-29

第四章 流体运动学

质点导数 The Material Derivative

局部加速度 local acceleration

时变加速度 time varying acceleration

迁移加速度 remove acceleration

流线与速度场处处相切。

环量和旋度，通量和散度

环量：速度沿曲线积分。
$$
\lim_{A\to 0}\frac{\oint_l w_ldl}{A}=\frac{2\pi rrw_n}{\pi r^2}=2w_n\
某一点的角速度为旋度的1/2
$$
旋度仅与流场中位置有关。

散度：单位体积的通量。

微元流体线的运动

$ \Delta x $的线变形速度$ \varepsilon_{xx} $(x线段，沿x方向）：
$$
\varepsilon_{xx}=\lim_{\Delta x\to0\\Delta t\to0}\frac{(w_x+\frac{\partial w_x}{\partial x}\mathrm{d}x)\Delta t-w_x\Delta t}{\Delta x\Delta t}=\frac{\partial w_x}{\partial x}
$$

$ \Delta x $向$ z $方向转动的角速度$ \eta_{xz} $：
$$
\eta_{xz}=\frac{\partial w_z}{\partial x}
$$

流体微团的运动

平均转动速率：
$$
\omega=\frac{1}{2}\mathrm{rot}\quad w
$$
PIV 苋菜可作示踪粒子。

2020-10-14

运动方式：平移、转动、角变形（形状改变）、膨胀（体积变化）。

角变形速率，以线相对转动速率表示，线相对转动速率有对称性。
$$
\varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}\
\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}(\frac{\partial w_j}{\partial i}+\frac{\partial w_i}{\partial j})\qquad(i\neq j\qquad i,j=x,y,z)
$$
$ \varepsilon_{ij} $为正时，微元体角变形减小，为收缩切变。

​ 为负时，微元体角变形增大，为扩展切变。

三个线变形速率和六个角变形速率构成一个二阶对称张量：
$$
\varepsilon_{ij}=
\left(
\begin{matrix}
\varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \
\varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \
\varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz}
\end{matrix}
\right)
$$
体积膨胀速率，等于线变形速率之和。

流体微团速度分解定理，太难记了。

2020-10-26

第五章 流体动力学微分形式基本方程

实际流体运动方程

两块固定无限长二维平行平板间不可压缩流体的稳定层流

二维平板层流
$$
w_y=w_z=0
$$
连续性方程：
$$
\frac{\partial w_x}{\partial x}=0
$$
即沿$ x $方向无速度梯度。

N-S方程：
$$
0=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial y}\
压力在y方向无梯度\
0=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}\
压力在z方向无梯度\
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\mu\frac{\mathrm{d}^2w_x}{\mathrm{d}y^2}
$$
等式两边均为常数，因此：
$$
w_x=\frac{1}{2\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}y^2+C_1y+C_2
$$
代入边界条件得：
$$
w_x=\frac{1}{2\mu}\frac{p_1-p_2}{l}(\frac{h^2}{4}-y^2)
$$

长圆管内不可压缩流体的稳定层流

圆管内层流
$$
\begin{cases}
w_r=0\
w_\theta=0
\end{cases}
$$
连续性方程：
$$
\frac{\partial w_z}{\partial z}=0
$$
N-S方程：
$$
\frac{\partial p}{\partial r}=0\
\frac{\partial p}{\partial\theta}=0\
-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z}+\frac{\mu}{\rho}[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(\frac{r\partial w_z}{\partial r})]=0
$$
得：
$$
w_z=\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}r^2+C_1\ln r+C_2
$$
代入边界条件：
$$
w_z=\frac{1}{4\mu}\frac{p_1-p_2}{l}(R^2-r^1)
$$
2020-10-22

第七章 伯努利方程及其运用

伯努利方程

$$
\frac{p}{\rho}+gz+\frac{w^2}{2}=C
$$

建立条件：在重力场作用下，不可压缩理想流体的稳定流动。

还需符合：
$$
\begin{vmatrix}
\mathrm{d}x & \mathrm{d}y & \mathrm{d}z\
w_x & w_y & w_z\
\omega_x & \omega_y & \omega_z
\end{vmatrix}=0
$$
则有如下5种情况（广义限定条件）：

  1. 静止状态。$ w_x=w_y=w_z=0 $
  2. 无旋流动。$ \omega_x=\omega_y=\omega_z=0 $
  3. 沿流线。$ \frac{\mathrm{d}x}{w_x}=\frac{\mathrm{d}y}{w_y}=\frac{\mathrm{d}z}{w_z} $
  4. 沿涡线。$ \frac{\mathrm{d}x}{\omega_x}=\frac{\mathrm{d}y}{\omega_y}=\frac{\mathrm{d}z}{\omega_z} $
  5. 螺旋运动。$ \frac{w_x}{\omega_x}=\frac{w_y}{\omega_y}=\frac{w_z}{\omega_z} $

实际流体的伯努利方程

原因：需要消耗一部分机械能克服粘性力带来的流动阻力。

位能与动能不变，压能产生变化。
$$
gz_1+\frac{p_1}{\rho}+\frac{w_1^2}{2}=gz_2+\frac{p_2}{\rho}+\frac{w_2^2}{2}+h_w’
$$
$ h_w’ $由机械能转化为流体内能。

实际流体的总流伯努利方程式

缓变流的定义

缓变流：流线趋于平行，离心力小，质量力仅为重力。
$$
X=0,Y=0,Z=-g
$$
在缓变流中，与流动方向垂直的截面上的压力分布与静止流体一致。
$$
z+\frac{p}{\rho g}=C
$$
并且各个方向压力相同。

实际流体流经流道的伯努利方程

$$
z_1+\frac{p_1}{\rho g}+\alpha_1\frac{w_1^2}{2g}=z_2+\frac{p_2}{\rho g}+\alpha_2\frac{w_2^2}{2g}+h_w
$$

1、2为计算流通截面。

限制条件：不可压缩、实际流体、稳定流动、缓变流。

$ \alpha $与流道中流速的均匀程度有关，越均匀越接近1，工程问题一般取$ \alpha=1 $。

相对运动的伯努利方程

$$
\frac{p_2-p_1}{\rho g}=\frac{u_2^2-u_1^2}{2g}+\frac{w_1^2-w_2^2}{2g}
$$

作用在微元柱体上的垂直于$ l $力包括哥氏力和离心力在此方向的分量及该方向的压差，投影为0，不予考虑。

伯努利方程的应用

毕托管

image.png

在管道里沿流线装设迎着流动方向开口的细管（图7.5（a)），可以用来测量管道中流体的总压，这种装置称为总压管。U形管中装有密度较大的液体，因为迎着流体的毕托管端对流动的流体有滞止作用，此处流体的流速等于零。流体滞止后，再向毕托管四周绕流。毕托管内的流体是静止的。

文丘里管

image.png

1―1截面为收缩前的流通截面，2―2为收缩后的最小流通截面，称为喉部截面。这两处的流动都属于缓变流。因为文丘里管很短，在列出1―1到2―2截面间的伯努利方程式时可忽略阻力损失。
$$
Q=A_2\sqrt{\frac{2g}{1-(\frac{A_2}{A_1})^2}(\frac{\rho_1}{\rho}-1)(h_2-h_1)}
$$

喷雾器原理

image.png

活塞处压力高于喷管出口压力，气流以一定的速度喷入大气，为使液体吸入喷管，喷管必须具有喉部，以使喉部截面上的压力低于大气压力。活塞截面2―2与出口截面1―1之间的伯努利方程式为：
$$
\frac{p}{\rho}=\frac{p_a}{\rho}+\frac{w_1^2}{2}
$$
活塞截面2―2与喉部截面i―i之间的伯努利方程式为:
$$
\frac{p}{\rho}=\frac{p_i}{\rho}+\frac{w_1^2}{2}\
\therefore\qquad\frac{A_i}{A_1}=\sqrt{\frac{p-p_a}{p-p_i}}\
\because\qquad p_a=p_i+\rho_l g h\
\therefore\qquad A_i=A_1\sqrt{\frac{p-p_a}{p-p_a+\rho_l g h}}
$$
喷雾器截面尺寸的要求。

流体力学积分形式基本方程

动量方程

image.png

控制面为进出口截面及紧贴弯管的流体膜。

$ F_x、F_y $为外界对控制面、体的作用力。

流体对弯管的作用力：
$$
\vec R=iF_x+jF_y
$$
根据连续性方程：
$$
w_1A_1=w_2A_2
$$
$ x $方向的动量方程：
$$
\begin{matrix}\underbrace{w_1A_1\rho}\进入面质量流量\end{matrix}w_1-w_2A_2\rho w_2\cos\alpha+\begin{matrix}\underbrace{p_1A_1-p_2A_2\cos\alpha}\控制面上的力\end{matrix}+\begin{matrix}F_x\控制体上的力\end{matrix}=0
$$
$ y $方向的动量方程：
$$
-w_2A_2\rho w_2\sin\alpha+p_2A_2\sin\alpha+F_y=0
$$
加入伯努利方程(Bernoulli’s principle)：
$$
p+\rho g h+\rho\frac{w^2}{2}=C
$$
四个方程，四个未知量。

绝热指数

$$
k=\frac{C_p}{C_v}
$$

常用1.4。

2020-11-6