导热理论

导热：相互接触的物体之间依靠微观粒子的热运动传递热量的过程。

纯导热无宏观运动

热流密度：单位时间通过单位面积传递的热量。$ q\quad (\mathrm{W/m^2}) $

傅里叶定律：温度场与热流场的联系。适用范围：3页。

导热系数
$$
\lambda=\frac{q}{-\mathrm{grad}t}\qquad[\mathrm{W/(m\cdot k)}]
$$

气体导热：分子热运动
液体导热：晶格振动
金属导热：自由电子迁移
合金：晶格振动

$$
\lambda_{纯金属}>\lambda_{合金}
$$

影响因素：物质的种类、材料成分、温度、湿度、压力、密度等。

各向异性导热材料：石墨。

棉被打湿后导热系数上升。

热扩散率/导温系数：材料内部温度趋于均匀的能力。
$$
a=\frac{\lambda}{\rho c}
$$
边界条件：

第一类：给定边界上的温度。（温度可以是时间和位置的函数）
第二类：给定边界上的法向热流密度。（热流密度可以是时间和位置的函数）绝热边界是特例
第三类：给定外界介质温度和边界上的对流换热表面传热系数。（对流边界条件）

稳态导热

无内热源一维稳态导热

导热微分方程：
$$
\frac{\mathrm{d}^2t}{\mathrm{d}x^2}=0
$$
通解为：
$$
t=C_1x+C_2
$$
边界条件;
$$
x=0,t=t_1\x=\delta,t=t_2
$$
温度分布：
$$
t=t_1-\frac{t_1-t_2}{\delta}x
$$
热流密度;
$$
q=-\lambda\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\lambda\frac{t_1-t_2}{\delta}
$$

带有内热源的一维稳态导热

导热微分方程：
$$
\frac{\mathrm{d}^2t}{\mathrm{d}x^2}+\frac{q_V}{\lambda}=0
$$
边界条件：
$$
x=0,t=0\x=\delta,t=0
$$
通解：
$$
t=-\frac{q_V}{2\lambda}x^2+C_1x+C_2
$$
温度分布：
$$
t=\frac{q_V}{2\lambda}x(\delta-x)
$$

边界条件2：
$$
x=0,t=t_1\x=\delta,t=t_2
$$
温度分布2：
$$
t={\color{Blue}t_1+\frac{t_2-t_1}{\delta}}+{\color{Red}\frac{q_V}{2\lambda}x(\delta-x)}
$$
热流密度2：
$$
q={\color{Blue}\lambda\frac{t_1-t_2}{\delta}}+{\color{Red}\frac{q_V}{2}(2x-\delta)}
$$

二维稳态导热分离变量法

控制方程：
$$
\frac{\partial^2\theta}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\theta}{\partial y^2}=0
$$
边界条件：
$$
x=0,\theta=0\x=\delta,\theta=0\y=0,\theta=0\y=H,\theta=f_1(x)=f(x)-t_0
$$
假设：
$$
\theta(x,y)=X(x)Y(y)
$$
代入控制方程：
$$
-\frac{X’’}{X}=\frac{Y’’}{Y}=\varepsilon^2=常数\X’’+\varepsilon^2X=0\{\color{Brown}Y’’-\varepsilon^2Y=0}
$$
通解：
$$
X=A\cos(\varepsilon x)+B\sin(\varepsilon x)\{\color{Brown}Y=C\operatorname{sh}(\varepsilon x)+D\operatorname{ch}(\varepsilon x)}
$$
$ x $方向边界条件：
$$
x=0,X=0\x=\delta,X=0
$$

代入：
$$
A=0\\therefore B\sin(\varepsilon x)=0\\because B\neq 0\\therefore\sin(\varepsilon x)=0
$$
上式为特征方程，有无穷个解，取正：
$$
\varepsilon_m=\frac{m\pi}{\delta},\quad m=1,2,…\\therefore X_m=B_m\sin(\varepsilon_m x)
$$

$ {\color{Brown}y} $方向边界条件：
$$
{\color{Brown}y=0,Y=0}
$$
代入：
$$
\color{Brown}
D=0,
Y=C_m\operatorname{sh}(\varepsilon y)
$$
$\theta$为：
$$
\theta_m=C_m\sin(\varepsilon_m x)\operatorname{sh}(\varepsilon_m y)\
\theta=\sum_{m=1}^\infin C_m\sin(\varepsilon_m x)\operatorname{sh}(\varepsilon_m y)
$$
注：求$C_m$要展开正弦级数，见书31页。

非稳态导热

集总热容：忽略物体内部导热，只考虑其与环境换热。即假设温度只与时间有关，与位置无关。

毕渥数：
$$
Bi=\frac{hL}{\lambda}
$$
$L$为特征尺寸，$Bi$为物体内部导热热阻与表面换热热阻之比。

通常，$Bi<0.1$为薄壁物体。

对无内热源的物体，表面服从牛顿冷却定理，环境温度为常量：
$$
c\rho V\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}\tau}=-hA(t-t_f)
$$
过余温度：
$$
\theta=t-t_f
$$
描述方程：
$$
c\rho V\frac{\mbox{d}t}{\mbox{d}\tau}+hA\theta=0
$$
通解：
$$
\theta=C\exp(-\frac{hA}{c\rho V}\tau)
$$
初始条件：
$$
\tau=0,\theta=\theta_0=t-t_0
$$
代入：
$$
C=\theta_0\
\frac{\theta}{\theta_0}=\exp(-\frac{hA}{c\rho V}\tau)
$$
时间常数：
$$
\tau_r=\frac{c\rho V}{hA}
$$
具有时间量纲，表征物体温度变化的快慢，即热惯性大小。

$\tau=\tau_r$时，$\theta=0.368\theta_0$。4倍时间常数，$e^{-4}=1.83$%

大平壁在等温介质中冷却

傅里叶数：
$$
Fo=\frac{a\tau}{\delta^2}
$$
则：
$$
\frac{\theta}{\theta_0}=F_1(\frac{x}{\delta},Fo,Bi)
$$
冷却率52页。

导热问题的数值解

泰勒级数：把微分方程转为代数方程。108页

向前差分：
$$
\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+O(\Delta x)
$$
向后差分：
$$
\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}x}=\frac{f(x)-f(x-\Delta x)}{\Delta x}+O(\Delta x)
$$
中心差分：
$$
\frac{\mbox{d}f}{\mbox{d}x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}+O[(\Delta x)^2]
$$
$O(\Delta x)$为截断误差。二阶差分108页。

稳态导热的数值分析

有内热源的二维稳态，常物性泊松方程：
$$
\frac{\partial^2t}{\partial x^2}+\frac{\partial^2t}{\partial y^2}+\frac{q_V}{\lambda}=0
$$
内节点$(i,j)$均满足：
$$
\frac{t_{i+1,j}+t_{i-1,j}-2t_{i,j}}{(\Delta x)^2}+\frac{t_{i,j+1}+t_{i,j-1}-2t_{i,j}}{(\Delta y)^2}+\frac{q_{V.i,j}}{\lambda}=0
$$
若正方形网格，无内热源：
$$
t_{i,j}=1/4周围四个点
$$
边界处理110页。

线性代数方程组

对角占优原则，系数最大的放对角线。

对流换热

热对流：依靠流体的流动将热量从一处传递到另一处的现象，即运动的流体质点以热焓形式将热量带走。

热对流只发生在运动的流体中。

流体流动时，热对流与导热同时发生，密不可分。

对流换热：流动流体与固体壁面或其他界面之间的换热。

紧贴壁面处流体因粘性停滞不动，导热主导。

无粘流体有对流传热，必有导热。

滑移边界有导热。

混合对流：
$$
强制对流0.1\le\frac{Gr}{Re^2}\le10自然对流
$$
傅里叶定律（边界层）：
$$
q_w=-\lambda\frac{\partial t}{\partial y}|{y=w,x}
$$
牛顿冷却：
$$
q_c=h(t_{w,x}-t_\infin)
$$
等：
$$
h_x=-\frac{\lambda}{t{w,x}-t_\infin}\frac{\partial t}{\partial y}|_{y=w,x}
$$
其中$t_\infin$外部流动取主流温度，内部流动取截面均温。

努塞尔数：流体在壁面处法向无量纲过余温度梯度。
$$
Nu=\frac{hl}{\lambda}
$$
普朗特数：流体动量扩散能力与热扩散能力相对大小。
$$
Pr=\frac{\nu}{a}
$$
格拉晓夫数：流体浮升力与粘性力相对大小。
$$
Gr=\frac{g\alpha\Delta tL^3}{\nu^3}
$$
$\alpha$为体积膨胀率。

被加热的流体传热系数较高。

总能量=焓值+动能，$e$量纲为[J/kg]。

能量方程的温度表达式书149页。

理想气体——状态方程
实际气体——范德瓦尔方程
液体——液体状态方程

层流边界层

速度边界层

边界层外缘为主流速度 99%处，即$u=0.99U_\infin$。

主流速度上升，边界层厚度上升。

对于外掠平板流动，一般取$Re_{cr}=5\times10^5$，如果无限长，必会变湍流。

对于管内流动，速度边界层汇合于通道中心。

入口段长度：

层流：$l/d=0.05RePr$

湍流：$l/d=60$

温度边界层

过余温度等于99%主流区流体的过余温度。防止温度出现0$^{\circ}\mbox{C}$

层流：导热
湍流：
- 粘性底层：导热
- 湍流核心：对流

强化传热：破坏热边界层发展。

普朗特数：
$$
Pr=1:\delta_v=\delta_t\Pr>1:\delta_v>\delta_t
$$

油类：$10^2-10^3$
水：$0.9-10$
气体：$0.7-1$
液态金属：$0.01$

数量级分析：
$$
\delta_v\ll l;\delta_t\ll l\
\delta_v\sim\delta_t\
x\sim l;y\sim\delta_v\
u\sim u_\infty;t\sim(t_\infty-t_w)
$$
层流温度呈抛物线，湍流温度呈幂函数。

外掠平板层流边界层分析解

BC:
$$
x=0:u=U_\infty,t=T_\infty\
y=0:u=v=0,t=T_w\
y\ge\delta:u=U_\infty,t=T_\infty
$$
布拉修斯解

常物性，不可压缩，忽略粘性耗散，无内热源，无体积力，主流速度温度均为常数。

连续性方程：
$$
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0
$$
动量方程：
$$
\rho(u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y})={\color{RoyalBlue}\rho_\infty U_\infty\frac{\mbox{d}U_\infty}{\mbox{d}x}}+\mu\frac{\partial^2u}{\partial y^2}
$$
不同$x$处，（边界层中）层流速度并不相似，但范围均为$0\to U_\infty$。

引入量纲一的速度，相似变量$\eta$：
$$
\frac{u}{U_\infty};\eta=\frac{y}{\delta(x)}\
\delta(x)\sim\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}\
\eta=y\sqrt{\frac{U_\infty}{\nu x}}
$$
引入流函数：
$$
\frac{u}{U_\infty}=\frac{1}{U_\infty}\frac{\partial\psi}{\partial\eta}\frac{\partial\eta}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial\eta}({\color{Red}\frac{\psi}{\sqrt{U_\infty\nu x}}})=\frac{\partial{\color{Red}f}}{\partial\eta}={\color{Red}f’}
$$
$f’$为无量纲切向速度。
$$
u=f’U_\infty;v=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{U_\infty\nu}{x}}(\eta f’-f);\frac{\partial\eta}{\partial x}=-\frac{1}{2}x^{-1}\eta
$$
代入动量方程：
$$
\underbrace{f’’’}{粘性力}+\frac{1}{2}\underbrace{ff’’}{惯性力}=0
$$
上式即Blasius Eq.

BC：
$$
\eta=0,f’=f=0\
\eta\to\infty,f’=1
$$
用泰勒级数求解162页。4.64（5）时已99%。
$$
\delta=5\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}=5Re_x^{-\frac{1}{2}}
$$
同一种流体流速越高，边界层越薄。

波尔豪森解

描述方程：

$$
u\frac{\partial t}{\partial x}+v\frac{\partial t}{\partial y}=a\frac{\partial^2t}{\partial y^2}
$$
引入量纲一过余温度：
$$
\Theta=\frac{t-T_w}{T_\infty-T_w}
$$
波尔豪森方程：
$$
\Theta’’+\frac{1}{2}Prf\Theta’=0
$$
若$Pr=1$：
$$
\frac{u}{U_\infty}\sim\frac{t-T_w}{T_\infty-T_w}
$$

$$
h_x\propto x^{-\frac{1}{2}},x\uparrow,h_x\downarrow \
{\color{Red}\times}\quad x\to0,h_x\to\infty
$$

壁面热流164页。

外掠楔状体层流边界层

顺压梯度流动：
$$
\beta>0,m>0\to\frac{\mbox{d}p}{\mbox{d}x}<0,p\downarrow,v\uparrow
$$
逆压梯度流动：
$$
\beta<0,m<0\to\frac{\mbox{d}p}{\mbox{d}x}>0,p\uparrow,v\downarrow
$$
外掠平板流动：
$$
\beta=0,m=0\to\frac{\mbox{d}U_\infty}{\mbox{d}x}=0
$$
滞止流动：
$$
\beta=\pi,m=1
$$
边界层分离：
$$
\beta=-0.1988,\frac{\partial u}{\partial y}|_{y=0}=0
$$
贴壁面处产生回流，称为脱体的临界角。

槽道内层流流动与换热

湍流

平滑入口，即使雷诺数大于临界雷诺数，也会先经历层流，尖锐入口则直接湍流。

层流换热器管径很小，始终层流，边界层很薄。

层流向湍流过度的特征195页。

湍流：一种随机、非定常的、三维有旋流动，由各种尺度的涡组成。

自然对流

变压器不能吸热，所以做成白/银色。
$$
Gr\uparrow,纯导热\to环流\to层流\to湍流
$$
特点：

温度场不均匀（重力作用）
不均匀温度场不一定引起自然对流
不依靠外力
传热弱，经济、安全、平静

布斯涅斯克假设：在温差不大的情况下，温度只影响密度，其他物性参数均视为常数。

惯性力与粘性力的关系由物性$Pr$制约。

$Pr\gg1$边界层内摩擦力与浮升力平衡
$Pr\ll1$边界层内惯性力与浮升力平衡